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Mathe-Board: Universität: Basis

Von pitt am Samstag, den 20. Januar, 2007 - 17:03 Beitrag Editieren -- Login

Sei F : R3-->R2 durch die Matrix

A=
-2 -1 -3
-4 -2 -6

gegeben.

Bestimmen Sie Basen B = (u, v1, v2) von R3 und C = (w1,w2) von R2, so dass
KernF = LK(v1, v2), ImF = LK(w1) und F(u) = w1.

hat jemand einen tipp was ist hier das ImF ist das das Bild von A?

Von pitt am Samstag, den 20. Januar, 2007 - 17:05 Beitrag Editieren -- Login

A=  2   1   3 
   -4  -2  -6

Von Tipp am Samstag, den 20. Januar, 2007 - 20:47 Beitrag Editieren -- Login

Bilde mal die kanonischen Basisvektoren e₁ = (1;0;0), e₂ = (0;1;0), e₁ = (0;0;1) ab,
dann merkst du, was Bild(F) ist.

Suche dann alle Vektoren, für die A*x = 0 gilt.
Diese bilden den Kern(F).

Von pitt am Samstag, den 20. Januar, 2007 - 21:41 Beitrag Editieren -- Login

Danke schon mal probiere es gleich aus

Von Tipp am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 04:34 Beitrag Editieren -- Login

Und: was kam dabei raus? Hast du's schon?

Von pitt am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 09:21 Beitrag Editieren -- Login

sry habe so lange an einer anderen aufgabe gesessen

also die abbildung ist bei mir:

( 2)
(-2) =A
(0)

und dann sind die vektoren die A*x=0 erfüllen :

0
0 oder
x

0,5
-0,5
x

kann das sein?

Von pitt am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 11:40 Beitrag Editieren -- Login

ich habe da aber das ergebnis aus der abbildung der einheitsbasen verwendet. hätte ich die matrix nutzen müssen?

wenn ich die Matrix multipliziert mit einem unbekannten vektor x = null setze, dann erhalte ich für
x: x=(6x, -12y)
aber das ist doch alles falsch!?

Von ? am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 18:26 Beitrag Editieren -- Login

Zitat:
also die abbildung ist bei mir:

( 2)
(-2) =A
(0)

verstehe ich nicht. Oben schreibst du

Zitat:

A=
-2 -1 -3
-4 -2 -6

Welche Matrix benutzt du denn zum Rechnen?
Machst du gerade eine ganz andere Aufgabe?

Von pitt am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 22:57 Beitrag Editieren -- Login

danke fürs nachdenken habe die aufgabe gelöst dass was ich da geschrieben habe ist müll aber jetzt bin ich weiser (hoffe ich)

v1=(-3 0 -2)
v2=(0 -3 1)
u frei wählbar hauptsache lu
w1=(2 -4)
w2=(3 -4)

das musste jetzt stimmen oder

Von Tipp am Sonntag, den 21. Januar, 2007 - 23:47 Beitrag Editieren -- Login

Das stimmt leider nicht.

v₁ = (+3; 0; -2) oder Vielfache davon (als Spaltenvektor geschrieben).
v₂ = (0; -3; 1) oder Vielfache davon (als Spaltenvektor geschrieben) ist OK.

Zitat:
u frei wählbar hauptsache lu

verstehe ich nicht. Was meinst du damit nur?

w₁ = (2 -4) oder Vielfache davon (als Spaltenvektor geschrieben).
Einen zweiten linear unabhängigen Vektor im Bild gibt es nicht.
Der Kern ist 2-dimensional, das Bild ist 1-dimensional.
Hinweis: Zudem ist die Dimensionsformel dim(Kern) + dim(Bild) = dim(R³) damit erfüllt.

Von amateur am Montag, den 22. Januar, 2007 - 13:13 Beitrag Editieren -- Login

u ist nicht frei wählbar, da F(u) = w₁ gefordert ist. Damit muss u = (1; 0; 0) sein. Frei wählbar ist dann w₂ mit der Einschränkung, dass es von w₁ linear unabhängig sein muss.

Von pitt am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 13:19 Beitrag Editieren -- Login

natürlich ist u frei wählbar! natürlich ist je nachdem was ich für u wähle w1 etwas anderes

Von pitt am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 13:21 Beitrag Editieren -- Login

@ tipp
da war ein tippfehler meine +3

Von amateur am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 13:41 Beitrag Editieren -- Login

u ist nicht mehr frei wählbar, wenn Du w₁ bereits festgelegt hast. In Deinem Posting vom 21.01. 22:57 Uhr hast Du aber genau das getan.

Von Tipp am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 15:17 Beitrag Editieren -- Login

@pitt: Was ist u? Woher kommt das?

Von pitt am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 18:59 Beitrag Editieren -- Login

u ist oder besser soll eine basis von R3 sein mit der bedingung F(u)=w1 ich habe für
u=(1 0 0) gewählt und dann w1 erhalten ich hätte aber nicht (1 0 0) wählen müssen sondern u muss nur linear unabhängig sin von den anderen vektoren damit diese zusammen auch eine basis bilden.

Von amateur am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 19:08 Beitrag Editieren -- Login

u soll einer von drei Vektoren einer Basis des IR³ sein!

Von pitt am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 19:29 Beitrag Editieren -- Login

ja steht doch oben dra, oder was meinst du jetzt?

Von amateur am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 21:37 Beitrag Editieren -- Login

Nein, bei Dir steht, dass u eine Basis sein soll. Eine Basis für den IR³ kann aber nur aus drei Vektoren bestehen.

Von Tipp am Dienstag, den 23. Januar, 2007 - 22:47 Beitrag Editieren -- Login

Man muss nicht (1;0;0) wählen sondern irgendeinen Vektor, der nicht im Kern ist (einer genügt, weil das Bild 1-dimensional ist)!

Oder besser: man betrachtet die Spaltenvektoren und wählt daraus eine Basis aus.

Offenbar besteht eine Basis des Bildes z.B. aus dem Bildvektor ${ \left(\begin{array}{c}2\\-4\end{array}\right) }$ .

Von pitt am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 14:31 Beitrag Editieren -- Login

" Bestimmen Sie die Basen B = (u, v1, v2) von R3 und C = (w1,w2) von R2 "

da steht doch die basen B und C und die vektoren die die basen bilden sind u v1 v2 w1 und w2
damit ist u doch keine basis sondern nur ein vektor der zusammmen mit v1 v2 eine basis bildet

oder vestehe ich etwas ganz falsch?

Von amateur am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 14:51 Beitrag Editieren -- Login

@Tipp
Es ist nicht nach einer Basis von Bild, sondern nach Basen von IR³ und IR² gefragt. Daher kann durchaus (1; 0; 0), der nicht zum Kern gehört, gewählt werden. Mein Disput mit pitt war nur entstanden, weil er geschrieben hatte, dass er u frei wählen könne und gleich darunter w₁ fest angegeben hatte. Später schrieb er dann: "u ist oder besser soll eine basis von R3 sein", was ich monierte, da u keine Basis sein kann.

Von pitt am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 15:01 Beitrag Editieren -- Login

@ amateur
dann war dass bei uns nur ein missverständnis oder? und ich habe nur etwas ungünstig formoliert?!

Von amateur am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 15:48 Beitrag Editieren -- Login

So ist es.

Von pitt am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 16:01 Beitrag Editieren -- Login

dann ist ja gut. ich hätte da aber ne neue frage wäre nett wenn man mir helfen könnte

Man gebe eine lineare Abbildung f : R3---> R4 an, so dass Im f = LK((1 2 0 -4),(2 0 -1 -3)

ist.

ich habe das so verstanden: ich soll eine matrix finden die die abbildung von R3 nach R4 beschreibt aber zusätzlich wenn man sie mit irgendeinem vektor aus dem R3 multipliziert dies dann eine linear kombination von ((1 2 0 -4),(2 0 -1 -3) entspricht stimmt das

ich habe mir ein gleichunssystem aufgestellt hatte aber 18 unbekannte kann also nicht ganz der richtige weg sein

Von Tipp am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 16:26 Beitrag Editieren -- Login

@all: Ich senke mein Haupt und geb zu, dass ich die Aufgabe zu oberflächlich durchgelesen hatte.

Von amateur am Mittwoch, den 24. Januar, 2007 - 20:49 Beitrag Editieren -- Login

@Tipp
Gott sei Dank, dass das nicht nur mir passiert.

@pitt

1. Es ist besser, für eine neue Aufgabe einen neuen Beitrag aufzumachen.

2. Überlege einmal, wie man Bild A berechnet.


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