Hi, ich habe eine Frage zur Untersuchung von Vektoren auf ihre Eigenschaft als Basis des R³. Und zwar haben wir heute ein Beispiel gerechnet, um zu schauen, ob die Vektoren a=(1;2;3), b=(-1;0;2) und c=(3;1;1) eine Basis bilden.

Dabei haben wir zunächst festgestellt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, was mir als Nachweis für die Basis eigentlich gereicht hätte (schließlich sagt die Definition im Buch, dass linear unabhängige Vektoren eine Basis bilden).

Die Rechnung ging an der Stelle aber erst "richtig" los, wir haben einen beliebigen Vektor v=(v1;v2;v3) als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt, um zu zeigen, dass sich auch wirklich jeder Vektor sich über die drei Vektoren darstellen lässt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix sah dann so aus:

(1 -1 3 v1) (1 -1 3 v1 )
(2 0 1 v2) <=> (0 2 -5 -2v1+v2 )
(3 2 1 v3) (0 0 9 4v1-5v2+2v3)

Was genau bringt mir das jetzt?
Danach sind wir einfach davon ausgegangen, dass die Vektoren eine Basis bilden, aber wie genau kann ich das der obigen Matrix entnehmen? Für mich stehen da einfach nur Variablen und weiter nichts?!

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen? ;_;

Von amateur am Mittwoch, den 09. September, 2009 - 18:18   Beitrag Editieren    --    Login

Im ersten Teil beweist Du, dass a, b und c linear unabhängig sind. Im Buch steht nun, dass sie daher eine Basis bilden. aber wo ist der Beweis dafür? Den führst Du mit dem zweiten Teil, indem Du aus

k*a + l*b + m*c = y

zeigst, dass es eine Lösung der Form k =k(v), l = l(v) und m = m(v) gibt oder, anders ausgedrückt, dass es zu jedem Vektor v eine eindeutige Lösung (k; l; m) gibt. Rechne dazu Deine 3X4-Matrix weiter, bis Du links die Einheitsmatrix stehen hast. Dann steht rechts der Lösungsvektor (k; l; m).

Von anberlin am Mittwoch, den 09. September, 2009 - 19:26   Beitrag Editieren    --    Login

Okay, also wenn ich weiterrechne komme ich auf die L�sungen



Das hei�t also mit diesen L�sungen kann ich den Vektor v "umrechnen" auf die Basis a, b, c umrechnen?
Das m�sste ich verstanden haben

Und wenn ich jetzt zum Beispiel zeigen m�chte, dass die Vektoren a=(1;2;0) und b=(2;3;4) keine Basis bilden, obwohl sie linear unabh�ngig sind, dann rechne ich erst wieder wie oben und erhalte

v3 = 8v1 - 4v2
k = 2v2 - 3v1
m = 2v1 - v2

wobei aber dann v3 abh�ngig von v1 und v2 ist, sodass also zum Beispiel der Vektor c=(1;2;0) sich durch die Vektoren a und b erzeugen lie�e, der Vektor d=(1;2;1) aber nicht, weil v3 = 8*1 - 4*2 = 0 eigentlich durch das Gleichungssystem vorgegeben ist.

Ist das so richtig argumentiert?

Vielen Dank f�r die Hilfe schon einmal!

Von amateur am Mittwoch, den 09. September, 2009 - 19:41   Beitrag Editieren    --    Login

1. Vermeide das Wort 'eigentlich'. Es relativiert Deine Aussage.

2. Die Tatsache, dass v₃ von v₁ und v₂ abhängig ist, beweist, dass nicht jeder Vektor des R³ durch a und b darstellbar ist, dass also a und b keine Basis des R³ sind. a und b sind jedoch Basis eines R².

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