Strecke

Mathe-Board: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Strecke
Von Leo am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 12:10   Beitrag Editieren    --    Login

Auf einer Strecke der Länge a>0 werden zufällig zwei Punkte gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei entstandenen Strecken die Seiten eines Dreiecks bilden können?
Gruß Leo.

Von MMchen am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 19:26   Beitrag Editieren    --    Login

also, so etwas hab ich noch nie gehört. Nachdenken bitte. Seit wann können den 3 beliebige Strecken kein Dreieck bilden ?

Von amateur am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 19:33   Beitrag Editieren    --    Login

MMchen
Nachdenken! Wenn z. B. eine der Strecken größer als a/2 ist, können die drei Strecken kein Dreieck bilden. Die Aufgabe ist durchaus ernsthaft gemeint, aber nicht einfach (es sei denn, man weiß wie sie geht).

Von MMchen am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 21:06   Beitrag Editieren    --    Login

Oh ja, sorry, war Schnellschuß ohne Nachdenken. Aber danke für den Hinweis. Weiß zwar im Moment nicht, wie es geht, werde aber übers WE mal grübeln, es sei denn, einer kommt mir zuvor.

Von MMchen am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 21:47   Beitrag Editieren    --    Login

Da ist mir gerade eine Idee gekommen. Legen wir den Nullpunkt doch einmal genau nach a/2. Jetzt gibts ja 3 Möglichkeiten, den 1. punkt zu setzen, <0, =0, >0. Für den 2. punkt haben wir dann ja die gleichen Möglichkeiten wieder. Somit ergäbe sich
P1(<0;<0)
P2(<0;=0)
P3(<0;>0)
P4(>0;<0)
P5(>0;=0)
P6(>0;>0)
P7(=0;<0)
P8(=0;=0)
P9(=0;>0)
Da alle Kombinationen ausscheiden, in denen =0 vorkommt (a wäre genau in der Hälfte geteilt) und auch P1(<0;<0) sowie P6(>0;>0), (beide Punkte liegen rechts oder links von a/2) bleibt somit nur P3(<0;>0) bzw. P4(>0;<0) übrig, was dann gleich 2*1/3*1/3=2/9 wäre. mmmh, wer denkt anders ?

Von amateur am Freitag, den 27. Februar, 2009 - 23:39   Beitrag Editieren    --    Login

Das habe ich jetzt, ehrlich gesagt, nicht verstanden. Aber hier meine Lösung:

Sei a = 1. Sei x der Abstand des ersten Punkts vom linken Ende mit x £ 1/2. Im rechten Restbereich der Breite 1 - x darf der zweite Punkt von den Enden maximal den Abstand 1/2 haben. Damit ergibt sich für den zweiten Punkt ein Bereich der Breite x, in dem sich der Punkt an jeder Stelle mit einer Wahrscheinlichkeit von x/(1 - x) befinden kann. Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P = 0ò1/2 x/(1 - x)*dx = [-x - ln(1-x)]1/20 = -1/2 + ln(2) = 0,19315.

Von Leo am Samstag, den 28. Februar, 2009 - 10:50   Beitrag Editieren    --    Login

Die Lösung habe ich nicht verstanden, sorry.
In einem Lösungsheft habe ich als Ergebnis P=1/4 gefunden, aber leider ohne Rechnung.
Ich weiß nicht weiter.

Von MMchen am Samstag, den 28. Februar, 2009 - 15:20   Beitrag Editieren    --    Login

@amateur
Mein Ansatz hat einen Fehler, das habe ich erst später bemerkt, da in den von mir angegebenen Wahrscheinlichkeiten auch durchaus eine Strecke von genau a/2 entstehen kann. Deine Lösung erscheint mir plausibel, ich erkenne im Moment lediglich nicht, wie du von -ln(0,5) -ln(1) auf +ln(2) kommst.

Von amateur am Samstag, den 28. Februar, 2009 - 15:24   Beitrag Editieren    --    Login

Dann solltest Du schnellstens Deine Kenntnisse über die Logarithmusgesetze auffrischen.

-ln(0,5) - ln(1) = -ln(1/2) - 0 = -(ln(1) - ln(2)) = ln(2).

Von Gast_47 am Samstag, den 28. Februar, 2009 - 23:07   Beitrag Editieren    --    Login

P = 1/4 ist richtig.

http://www.cut-the-knot.org/triangle/geoprobability.shtml

Von Leo am Sonntag, den 01. März, 2009 - 10:51   Beitrag Editieren    --    Login

Vielen Dank, Gast47, für den Hinweis.
Gruß Leo.

Von Leo am Sonntag, den 01. März, 2009 - 10:55   Beitrag Editieren    --    Login

Vielen Dank, Gast47, für den Hinweis.
Gruß Leo.

Von amateur am Montag, den 02. März, 2009 - 11:18   Beitrag Editieren    --    Login

Ich bezweifle die Richtigkeit des zitierten Ergebnisses. M. E. stellt danach 1/4 nur eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit dar.

Von MMchen am Dienstag, den 03. März, 2009 - 09:14   Beitrag Editieren    --    Login

@amateur
Hallo, habe das nochmal nachvollzogen ohne mich zu informieren, was unter "Baycentric coordinates" zu verstehen ist und komme gemäß nachfolgender Darstellung auch zu dem Ergebnis 1/4.
Für a=1:
Feststeht, dass u,v und w als Teilstrecken alle < 1/2 sein müssen.
Für alle P(u<1/2;v<1/2,w<1/2)
P(<1/2;v<1/2;w>=1/2)
Usw. Bis p((>=1/2;v>=1/2;w>=1/2)
Scheiden die Wahrscheinlichkeiten, in denen >=1/2 mehr als 1mal vorkommt aus.
Somit bleiben nur 4 P(n) übrig, also 4*1/4. Da es aber nur einen Zweig gibt, in denen 3mal <1/2 vorkommt, ist die Lösung 1/4.
Was meinst du dazu?

Von amateur am Mittwoch, den 04. März, 2009 - 12:59   Beitrag Editieren    --    Login

Das ist m. E. nicht stichhaltig, denn die Bedingung u, v, w < 1/2 genügt nicht. Es muss auch u + v + w = 1 gelten.

Von amateur am Mittwoch, den 04. März, 2009 - 16:23   Beitrag Editieren    --    Login

Das macht die Richtigkeit meines Ansatzes und meines Ergebnisses immer wahrscheinlicher.

Von amateur am Donnerstag, den 19. März, 2009 - 21:24   Beitrag Editieren    --    Login

Ich habe das Ganze noch einmal durchdacht und komme endgültig zu meinem früheren Ergebnis:

Für den ersten Teilungspunkt gilt (z. B. am linken Ende beginnend) die Wahrscheinlichkeitsdichte:

f1(x) = 1/a; x Î (0; a/2]

Für jedes x gilt für den zweiten Teilungspunkt die Wahrscheinlichkeitsdichte

f2(x) = x/(a - x)

Für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte gilt

f(x) = f1(x)*f2(x) = 1/a*x/(a - x).

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus den drei Teilstrecken ein Dreieck erzeugt werden kann:

P = 0òa/2 1/a*x/(a - x)dx = 0ò1/2 t/(1 - t)dt
P = [-t - ln(1 - t)]1/20
P = ln(2) - 1/2 » 0,19315.

Von amateur am Freitag, den 20. März, 2009 - 15:52   Beitrag Editieren    --    Login

Zusatz:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

F(x) = ò 1/a*x/(a - x)dx = -x/a - ln(1 - x/a).


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\int{a,b} \wurzel{x} a\+{b} a\-{n} Bruch

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