| Von mmchen am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 13:05 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo, schönen Sonntag zusammen. Ich knobele hier gerade an Erläuterungen herum zum Axiomensystem von Kolmogorow. Bis auf eine Sache ist eigentlich alles klar. Nur, könnte mir irgendjemand mal ein Beispiel benennen, was nach Regel 6 zwei unvereinbare Ereignisse sind ?
Regel 6:
Additionssatz für zwei unvereinbare Ereignisse:
P(A u B) = P(A) + P(B) für (A und B)=(O) (O durchgestrichen, Zeichen gibt es hier nicht und steht natürlich für "leere Menge")
Nach mathematischer Logik ist mir das schon klar, aber was wäre denn ein praktisches Beispiel dafür ?
| Von amateur am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 13:23 Beitrag Editieren -- Login |
Warum schreibst Du nicht {} oder \s{198}?
Zwei unvereinbare Mengen sind zwei Mengen, deren Schnittmenge leer ist.
| Von nn_ am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 13:25 Beitrag Editieren -- Login |
Zwei Ereignisse heißen unvereinbar, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist.
Das wird in Deinem Additionssatz ja auch angegeben.
Praktisches Beispiel Würfeln:
P("1 oder 6") = P( {1; 6} ) = P( {1} u {6} ) = P({1}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
| Von mmchen am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 15:35 Beitrag Editieren -- Login |
Zunächst mal danke für die prompte Antwort.
@amateur
Dass unvereinbare Mengen Mengen sind, deren Schnittmenge leer ist, war mir klar. Ich habe ja nur nach einem praktischen Beispiel gefragt.
@nn_
Dein Beispiel hat es mir nun klar gemacht. Hätte länger überlegen sollen vorm Schreiben. Eine Menge A (1,2,3) und eine Menge B (5,6,7) geschnitten haben ja kein Element, welches in A und B gleichzeitig vorkommt.
Jetzt bin ich nur noch am überlegen, ob es des Axiom 3 nach Kolgomorow überhaupt bedarf, wenn Axiom 1 (Nichtnegativität) und Axiom 2 (Normiertheit) beide erfüllt sind ? Falls dennoch erforderlich, wäre ich auch hier für ein konkretes Beispiel dankbar.
| Von nn_ am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 16:24 Beitrag Editieren -- Login |
Natürlich, denn das sagt Dir doch gerade, wie Du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus den Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse zusammensetzt.
Beispielsweise würde beim Münwurf mit dem Ergebnisraum {K;Z} die folgende Verteilung die beiden ersten Axiome erfüllen, nicht jedoch das dritte:
P( {} ) = 0
P( {K} ) = 1
P( {Z} ) = 1
P( {K;Z} ) = 1
Da das alles ist, nur keine sinnvolle Wahrscheinlichkeitsverteilung, ist das dritte Axiom sehr wohl notwendig.
| Von mmchen am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 19:10 Beitrag Editieren -- Login |
@nn_
Dürfte man für diesen Fall nicht folgendermaßen argumentieren:
P({})=0
P[{K})=1/2
P({Z})=1/2
P({K;Z})=1
P(O)=2 und somit > 1 ? Axiom 2 nicht erfüllt.
Sorry, leider bringt \ greek { O } nicht das Zeichen Omega.
| Von amateur am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 19:19 Beitrag Editieren -- Login |
\gr{W} bringt Omega und \gr{w} bringt omega. \gr{O} bringt Omikron und \gr{o} bringt omikron.
| Von amateur am Sonntag, den 15. Februar, 2009 - 19:23 Beitrag Editieren -- Login |
Mit den 1/2 hast Du Recht. Aber {K;Z} = {W}.
| Von nn_ am Montag, den 16. Februar, 2009 - 07:24 Beitrag Editieren -- Login |
Was eine W-Verteilung mit der Realität zu tun hat, ist zunächst mal irrelevant.
Meine "W-Verteilung" von oben erfüllt die ersten beiden Kolmogorow-Axiome, aber eben nicht das dritte.
Und Du scheinst sie falsch gelesen zu haben: Bei mir war P({K}) und P({Z}) nicht jeweils 1/2, sondern jeweils 1.
Meine Verteilung zeigt, dass das dritte Axiom notwendig ist, um sinnvolle W-Verteilungen zu erhalten.
Das dritte Axiom sagt doch gerade das aus, was Du als selbstverständlich voraussetzen willst, nämlich dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse addieren muss, aus denen es sich zusammensetzt. Da man das nicht aus den ersten beiden Axiomen herleiten kann, muss man es als weiteres Axiom fordern.
Bei Deiner Verteilung wäre P(W) allerdings nicht 2, sondern 1, da, wie amateur schon sagte, {K;Z}=W ist.
| Von mmchen am Montag, den 16. Februar, 2009 - 11:23 Beitrag Editieren -- Login |
@nn_
Also ich kann deine Aussage, dass dein Beispiel mit (0;1;1;1) das 2. Axiom erfüllt, nicht nachvollziehen. Leut Lehrbuch lautet es ja, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergeben muss. Selbst wenn ich jetzt richtigerweise {K;Z} = {W} setze, ergibt P[{0}}=0 + P({K})=1 + P({Z})=1 die Zahl 2 und somit ist Kolmogorow nicht erfüllt. Somit brauche ich Axiom 3 nicht mehr zu prüfen.
| Von nn_ am Montag, den 16. Februar, 2009 - 16:04 Beitrag Editieren -- Login |
Dann verwendest du offensichtlich nicht die Axiome von Kolmogorow, die da lauten
1.: P(A) >= 0 für alle A
2.: P(Omega) =1
3.: Für unvereinbare Mengen ist die W. der Veinigung gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
sondern die dazu äquivalente Definition
1.: 0 <= P( {w} ) <= 1 für alle w aus W
2.: Die Summe aller P( {w} ) ergibt 1
3.: P( {} ) = 0
4.: Die W. eines Ereignisses ist die Summe der W. der Elementarereignisse, aus denen es sich zusammensetzt.
kann das sein?
Welches dieser vier Axiome würdest du nun gerne weglassen?
Hoffentlich ist Dir klar, dass das zweite Kolmogorow-Axiom nicht, wie von Dir oben angegeben, lautet, dass "die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergeben muss", sondern dass die Wahrscheinlichkeit von ganz Omega 1 ergibt. Dass man diese Wahrscheinlichkeit eben genau dadurch erhält, dass man die ganzen Einzelwahrscheinlichkeiten addiert, ergibt sich erst mit Hilfe des dritten Kolmogorow-Axioms.
| Von mmchen am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 10:14 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo,
ja, jetzt ist mir die Sache etwas klarer geworden und ich verstehe jetzt auch deine Anmerkung, dass "zunächst mal eine "vermeintliche" W-Verteilung mit der Realität" nichts zu tun hat. Ich kann also "theoretisch" aufstellen, was ich will und fange dann an zu prüfen nach 1. bis 3.
Im deinem Beispiel vom 15.2. ist die Nichtnegativität erfüllt, die Normiertheit ist erfüllt P(W)=1. Da jedoch die Werte P({W})=1 und P({Z})=1 gleichzeitig ein Wert der Menge P({W}) geschnitten P({Z}) sind, ist die Schnittmenge nicht leer. Also keine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Ich hoffe, ich habe das jetzt gerafft. Sollte dennoch was falsch sein, wäre ich über einen weiteren Kommentar froh.
Danke.
| Von nn_ am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 12:34 Beitrag Editieren -- Login |
Der Satz
ergibt keinen Sinn.
Zitat:Da jedoch die Werte P({W})=1 und P({Z})=1 gleichzeitig ein Wert der Menge P({W}) geschnitten P({Z}) sind, ist die Schnittmenge nicht leer
| Von mmchen am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 12:59 Beitrag Editieren -- Login |
Noch nicht ganz, sorry.
Im Lehrbuch steht (siehe auch SMS Duden, Zentralabitur, Seite 151):
Axiom 3 (Additivität) P(A u B) = P(A) + P(B), falls A geschnitten B = leere Menge.
Jetzt ist im Beispiel klar P(W) = 1 und somit P(A)+P(B) ¹ 1, wozu brauche ich dann hierzu noch das "falls" ?
| Von nn_ am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 13:24 Beitrag Editieren -- Login |
Mir ist nicht ganz klar, was genau Du jetzt nicht verstehst.
Axiom 3 spricht ausdrücklich nur von unvereinbaren Mengen. Und von keinen sonst. (Genau das bedeutet ja "..., falls A geschnitten B = leere Menge".)
Bevor man also mit zwei Mengen einen Widerspruch zu Axiom 3 nachweisen will, muss man erst sicherstellen, dass sie unvereinbar sind.
Beispiel Würfeln: W={1;2;3;4;5;6} und P({x})=1/6 für alle x aus W.
Mit A={1;2;3;4} und B={4;5;6} ist P(A)+P(B) = 7/6 ungleich P(A vereinigt B) = P(W) = 1.
Dass das dennoch kein Widerspruch zu Axiom 3 ist, liegt daran, dass A und B hier nicht unvereinbar sind, Axiom 3 aber nur eine Aussage über unvereinbare Mengen macht.
Würde man das "falls..." in der Definition weglassen, so ergäbe sich aber eine unsinnige Forderung, da man dann die Additivität auch von den gerade angeführten Beispielmengen A und B verlangen würde. Und das wäre doch wohl offenbar Quatsch.
| Von mmchen am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 16:03 Beitrag Editieren -- Login |
OK, danke, scheine es endlich gerafft zu haben. P(A u B)=P(A)+P(B) ist nur dann eine Wahrscheinlickeitsverteilung, wenn zusätzlich P(A geschnitten B) eine leere Menge darstellt. Gilt natürlich nur in Verbindung, dass Axiom 1 und Axiom 2 erfüllt sind.
| Von nn_ am Dienstag, den 17. Februar, 2009 - 16:14 Beitrag Editieren -- Login |
Nein.
P(A u B)=P(A)+P(B) ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wie kann eine Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein?
Ein Funktion P, die jedem Ereignis A (also jeder Teilmenge A von Omega) eine reelle Zahl P(A) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie die drei Kolmogorow-Axiome erfüllt.
Um nachzuweisen, dass irgendwas eine W-Verteilung ist, muss man also zeigen, dass die betrachtete Funktion die drei Axiome erfüllt.
Die von mir am 15.2. angegebene Funktion ist beispielsweise keine W-Verteilung, da sie das dritte Axiom verletzt.
Ist umgekehrt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P vorgegeben, so muss man wegen der Gültigkeit der Axiome nicht die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses angeben (das kann sehr mühsam werden: bereits beim Würfeln mit 6 Ergebnissen gibts 26=64 verschiedene Ereignisse!), sondern es genügt, z.B. die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse anzugeben, da man sich alle anderen Wahrscheinlichkeiten mit dem dritten Axiom damit dann "selber basteln" kann (wieder zum Würfeln: hier ermittelt man aus der Tatsache, dass jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/6 hat, alle übrigen Wahrscheinlichkeiten).
Und allgemein darf man die im dritten Axiom angegebene Summenformel eben immer nur dann anwenden, wenn man vorher sichergestellt hat, dass die betrachteten Ereignisse unvereinbar sind.
P aus meinem vorigen Beitrag ist natürlich sehr wohl eine W-Verteilung, auch wenn A und B sich schneiden. Dass A und B sich schneiden, hat nur zur Folge, dass man auf diese Ereignisse die Summenformel aus dem dritten Axiom eben nicht anwenden darf - was aber, wie gesagt, nichts daran ändert, dass die Funktion P eine W-Verteilung ist.