Kettenlinie - Herleitung
Mathe-Board: Geometrie: Kettenlinie - Herleitung
Am Donnerstag ist meine Mathe GFS f�llig, und mein Thema ist die Kettenlinie, bzw. ihre Herleitung.
Jetzt habe ich verstanden, wie man ausgehend vom physikalischen Modell und verschiedenen Kraftvektoren auf die Differentialgleichung kommt, die da lautet:
y'' = (q/Fh) * (
1+(y')2
)
Dabei ist q eine Konstante die von den physikalischen Eigenschaften der gew�hlten Kette abh�ngt, und Fh ist die Horizontale Kraft die auf jedes Kettenglied wirkt und immer gleich bleibt. (Genaueres bei: http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/kettenlinie/)
Jetzt muss man diese DGL aber noch aufl�sen. Dabei wird zuerst substituiert (bitte dem Link oben entnehmen). Danach wird umgeformt und dann auf beiden Seiten integeriert. Ich verstehe den Vorgang auch, aber nur bis zum Integrieren: Wieso wird aus dp / 1+p� denn bitte arsinh p. Die Ableitung des arsinh m�sste dann doch ergeben: arsinh p * dp... denn das dp aus dem Z�hler kann doch nich einfach verschwinden oder?
Mit
q = arsinh p
gilt:
p = sinh q
dp = cosh q*dq = 1 + sinh2q*dq = 1 + p2*dq
dq = dp/1 + p2
q = òdq = ò dp/1 + p2 = arsinh p + C.
Aber wieso q = arsinh p ?
Ich habe ja hier dp (also Delta P) im Zähler. dp / ( 1+p²
Die Ableitung des arsinh lautet jedoch: 1 / 1+x²
Nehmen wir also an die Aufleitung von dp / ( 1+p² wäre wirklich arsinh p .... was sie ja zu sein scheint ... dann müsste umgekehrt die Ableitung von arsinh p ja dp / ( 1+p² sein.
Laut der Ableitungsregel ist arsinh p abgeleitet aber 1 / 1+p² oder nicht?
1. Wieso nicht?
2. Nicht Delta P, auch nicht Delta p, sondern dp
3. Das habe ich Dir ja gerade gezeigt.
4. Nein, das ist falsch. Wenn Integral dp/1 + p2 gleich arsinh p ist, ist (arsinh p)' = darsinh p/dp = 1/1 + p2
5. Siehe 3.
Das ist aber nicht dp sondern Delta P, geht ja um die Differenz zweier Werte. So wie dx die Differenz von x und x0 ist und dFv die Differenz zweier Kraftvektoren. Oder was sollte das "d" in dem Fall denn sonst bedeuten?
d bezeichnet eine infinitesimale Differenz und wird daher von der mit D bezeichneten endlichen Differenz unterschieden und ganz normal als d gesprochen.
hm okay danke. Aber es ist doch eigentlich für die Frage egal ob infinitesimal oder endlich. Man könnte das d sogar einfach mal weglassen. Dann hätten wir hier p / (Wurzel (1+p²)) .
Das wäre dann ja auch arsinh p. arsinh p abgeleitet wäre aber 1 / (Wurzel (1+p²)). Weil laut der Formel von Wiki steht ja im Zähler bei der Ableitung immer 1. arsinh x ist 1/ (Wurzel (1+x²)), daher müsste arsinh p ja 1/ (Wurzel (1+p²)) ergeben. Dann würde jedoch bei der obigen Rechnung ein p fehlen, das aus dem Zähler.
Also bei mir musst du das schon sehr genau erklären, Mathe ist nicht gerade mein bestes Fach *g*
Das d darf man eben nicht weglassen. Du lässt doch beim Integral das d auch nicht weg.
Das Ganze rührt daher, dass bedauerlicherweise in den Schulen die Ableitung nicht mehr mit Dy und Dx bzw. dy und dx sondern mit f(x+h) - f(x) und h oder mit f(x0) - f(x) und x0 - x hergeleitet wird. Sonst sähe das so aus:
f '(x) = dy/dx = limDx®0 Dy/Dx = limDx®0 (f(x+Dx) - f(x))/Dx.
Der Grund, warum man (oder zumindest ich) im Unterricht den beiden von Dir genannten Versionen den Vorzug gibt und die Delta- und d-Schreibweisen eigentlich nur als Ergänzung verwendet, ist der, dass bei (Delta y) / (Delta x) nicht mehr hervorgeht, welche Stelle überhaupt untersucht wird, bei [ f(x+h) - f(x) ] / h oder [ f(x0) - f(x) ] / ( x0 - x ) aber schon.
Das mit den "Delta"s und "d"s ist überhaupt so ne Sache: Da erklärt man den Schülern, dass man halt beim Grenzwertübergang Delta x -> 0 aus dem "Delta" ein " d " macht und dafür das " lim " weglässt, führt das " d " also ausschließlich als Schreibweise ein, und kommt dann bei der Integration durch Substitution drauf, dass man mit diesen ominösen " d "s zumindest zum Teil ganz normal rechnen kann. Was es mit diesen Differentialen tatsächlich auf sich hat, wird einem vor'm Mathestudium leider immer verschlossen bleiben...
Bei [ f(x+h) - f(x) ] / h wüsste man es genauso wenig wie bei [ f(x+D) - f(x) ] / D. Da müsstest Du das x schon dem Index 0 versehen. Ich halte das Argument aber für wenig stichhaltig. Warum muss eine Stelle einen Index haben und kann nicht einfach x heißen?
Ich habe heute wieder erlebt, das ein Schüler verwundert darüber war, dass als Ableitung der Funktion f(x) = x2 mit der x0-x-Methode die Ableitung als f(x0) = 2x0 herauskam. Und ich stelle immer wieder fest (siehe auch weiter oben), dass es Schwierigkeiten bereitet, das dx z. B. bei der Integration zu verstehen. Man hat es halt bei der Einführung der Diffenrenziation nicht gelernt.
Ich glaube auch, dass gelegentlich Lehrer einfach unterstellen, dass ihre Schüler das eine oder andere nicht verstehen würden. Wie sonst ist wohl z. B.der (Un-)Begriff 'Tunwort' zu erklären, der ausschließlich in den ersten beiden Schuljahren verwendet wird?
Wieso?
Bei [ f(x+h) - f(x) ] / h weiß man ganz genau, dass die Stelle x untersucht wird.
Bei [ f(x+D) - f(x) ] / D weiß man genauso, dass die Stelle x untersucht wird.
Bei (Delta y)/(Delta x) weiß man nicht mal ansatzweise, an welcher Stelle man das Ganze jetzt betrachtet.
Dass eine Stelle einen Index haben müsse, hast jetzt Du gesagt...
Ich spreche im Unterricht sowieso den Ausdruck " f(x) " so gut wie nie als "f von x" aus, sondern als "f an der Stelle x"...
Okay vielen Dank für die vielen Antworten. Ich hab jetzt aber noch ein paar neue Fragen. Und zwar: Was genau rechne ich hier eigentlich?
Fv = Fh * y' gibt ja die Steigung in einem dieser Kettenglieder an, richtig?
Aber was soll dann das (Fv)' ? Wofür die Steigung der Steigung ?
Was war denn Ziel beim finden der Kettenlinie? Die Kräfte miteinander in Verbindung setzen und durcheinander ausdrücken ?