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Mathe-Board: Analysis: Polynom

Von Juliane am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 10:46 Beitrag Editieren -- Login

Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir erklären könnt, wie man hier auf die 13 kommt:
Habe die 1 , 2 und die 3 in die Gleichung eingesetzt, jedoch komme ich nicht auf die 13. Wie hat man das gemacht, dass man auf 1*2 + 2*1 + 3*3 = 13

Beispiel: Zum Polynom 2 - x + 3x2 erhält man 1*2 + 2*1 + 3*3 = 13.
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es nur endlich viele Polynome, denen die gleiche Zahl zugeordnet wird, denn ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist, und der Grad des Polynoms kann auch nicht größer als 13 sein.

Von nn am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 11:34 Beitrag Editieren -- Login

Was quasselst Du da für unverständliches Zeug zusammen?
Was soll das Polynom 2-x+3x² denn mit dem Term 1*2+2*1+3*3 zu tun haben?
Stelle bitte eine konkrete, klar formulierte Aufgabe.

Von Juliane am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 13:55 Beitrag Editieren -- Login

nein, ich füge das mal hier ein, vielleicht kannst du nachvollziehen, was ich damit meine:

Cantor zeigte auch, daß die Menge aller algebraischen Zahlen ebenfalls gleichmächtig zu N ist.
Zum Beweis wird angegeben, wie man die algebraischen Zahlen zählen (numerieren) kann.
Beweis: Betrachte alle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Jedem Polynom kann man eine natürliche Zahl zuordnen, indem man
p(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + ... + a(m)xm
die Summe der Absolutbeträge von (n+1)*a(n) zuordnet.
Beispiel: Zum Polynom 2 - x + 3x^2 erhält man 1*2 + 2*1 + 3*3 = 13.
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es nur endlich viele Polynome, denen die gleiche Zahl zugeordnet wird, denn ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist, und der Grad des Polynoms kann auch nicht größer als 13 sein.
[Wenn ein Polynom einen Koeffizienten gleich 14 hat, oder wenn wenn der Grad eines Polynoms gleich 14 ist, dann wird diesem Polynom mindestens die Zahl 14 zugeordnet.]
Jedes von den nur endlich vielen Polynomen zu einer festen natürlichen Zahl hat nur endlich viele Nullstellen. Folglich können die algebraischen Zahlen abgezählt werden. Die Zählung erfolgt im Prinzip nach der gleichen Methode, mit der Cantor schon die rationalen Zahlen abgezählt (numeriert) hat [siehe: Der von Cantor entwickelte Abzählbeweis.
Ergo: Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Von nn am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 14:04 Beitrag Editieren -- Login

Na, so wird doch gleich ein Schuh draus!
Wie man auf die 13 kommt, wird doch haarklein erklärt:
Du ordnest dem Polynom 2-x+3x² = 2*x⁰+(-1)*x¹+3*x² die Summe der Absolutbeträge von (n+1)*a(n) zu, also 1*2+2*1+3*3.
Wo liegt jetzt da das Problem?
Du sollst nicht 1, 2 oder 3 "in die Gleichung einsetzten" (damit meinst Du wohl, Du setzt 1, 2 oder 3 in das Polynom ein), sondern das tun, was im Text steht.

Von Juliane am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 14:28 Beitrag Editieren -- Login

ohh danke für die Erläuterung, aber ich versteh den Text einfach nicht.Kannst du das einfacher erläutern? danke

Von nn am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 14:58 Beitrag Editieren -- Login

Was verstehst Du denn nicht?
Nur wenn Du konkrete Fragen stellst, wird Dir irgendwer konkret antworten können.
Beschrieben wird hier eine Methode, jedem (ganzzahligen) Polynom eine Zahl zuzuordnen.
Dabei können natürlich verschiedene Polynome die gleiche Zahl erhalten, z.B.:
Dem Polynom x² wird die Zahl 1*0 + 2*0 + 3*1 = 3 zugeordnet.
Dem Polynom 1+x wird ebenfalls die Zahl 1*1 + 2*1 = 3 zugeordnet.
Das ist vergleichbar mit Postleitzahlen: Zu jeder Adresse gehört eine PLZ.

Anschließend wird begründet, warum es zu jeder natürlichen Zahl nur endlich viele Polynome gibt, denen diese Zahl zugeordnet wird (im Analogiebeispiel: Zu jeder PLZ können nur endlich viele Adressen gehören).

Wozu genau gibts jetzt Fragen?

Von Juliane am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 18:01 Beitrag Editieren -- Login

also ich versteh immer noch nicht, wie man auf 1*2+2*1+3*3 kommt.

Von Hilfe am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 18:20 Beitrag Editieren -- Login

Beispiel:

p(x) = 7 - 3x + 5x² - 11x³ + 2x⁴
ergibt
1*7 + 2*3 + 3*5 + 4*11 + 5*2

Von amateur am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 18:47 Beitrag Editieren -- Login

Ein Teil des Problems liegt womöglich daran, dass in p(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + ... + a(m)x^m das n nicht explizit definiert ist, sodass Juliane (n+1)*a(n) nicht versteht. Besser wäre wohl p(x) = Summe_n=0^m a(n)xⁿ.

Von seoul am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 22:08 Beitrag Editieren -- Login

Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der grÃ¶ÃŸer als 13 ist" ist falsch. Beweis: FÃ¼r a(0)*1⁰ - 4*2¹ - 3² = 13 gilt a(0) > 13.

Von Hinweis am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 22:20 Beitrag Editieren -- Login

a(0)*1⁰ - 4*2¹ - 3² ist ein Polynom vom Grad 0.
Außerdem werden zur Summenbildung die Beträge der Koeffizienten benutzt und nicht die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen.

Von juliane am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 23:13 Beitrag Editieren -- Login

ooo ich hab es dank hilfe verstanden, und danke auch an nn

Von amateur am Dienstag, den 01. November, 2011 - 19:56 Beitrag Editieren -- Login

@seoul
Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist" ist richtig. Dein Beispiel zeigt, dass Du die Forderung nicht gelesen oder nicht verstanden hast, dass zur Summenbildung die Beträge (Absolutbeträge ist eine Tautologie) der Koeffizienten zu verwenden sind. Daher kann in der Summe kein - vorkommen.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 09:54 Beitrag Editieren -- Login

Ist p(x) = a(0) - 4x - x² ein Polynom oder ist p(x) kein Polynom?

Von amateur am Freitag, den 11. November, 2011 - 10:27 Beitrag Editieren -- Login

Es ist ein Polynom.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 17:50 Beitrag Editieren -- Login

Ist {a(0);-4;-1} die Menge der Koeffizienten des Polynoms p(x) = a(0) - 4x - x²?

Von Antwort am Freitag, den 11. November, 2011 - 17:52 Beitrag Editieren -- Login

Ja.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 18:37 Beitrag Editieren -- Login

Wenn das Polynom p(x) = a(0) - 4x - x² einen gegebenen Wert von 13 hat, gilt dann 13 = a(0) - 4x - x²?

Von Antwort am Freitag, den 11. November, 2011 - 18:41 Beitrag Editieren -- Login

Ja, aber hier geht es nicht darum, ob oder für welche(s) x das Polynom den Wert 13 annimmt.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 18:45 Beitrag Editieren -- Login

Also ist die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der groeßer als 13 ist" doch falsch?

Von Antwort am Freitag, den 11. November, 2011 - 18:48 Beitrag Editieren -- Login

Die Zahl 13 ist der (konstante, von x unabhängige) Wert, der dem Polynom 2 - x + 3x² nach der angegebenen Regel zugeordnet wird,
und nicht der Funktionswert, den man beim Einsetzen eines geeigneten x-Wertes erhält!

Von nn am Freitag, den 11. November, 2011 - 18:54 Beitrag Editieren -- Login

@seoul:
Du hast immer noch nicht begriffen, was da passiert.
Hier wird nicht der Wert des Polynoms für ein bestimmtes x berechnet.
Jedem Polynom wird eine natürliche Zahl zugeordnet.
Dabei werden zur Summation die Beträge der Koeffizienten verwendet.
Deinem Polynom a(0) - 4x - x² wird so die Zahl

1 * |a(0)| + 2 * | -4 | + 3 * | -1 | = a(0) + 8 + 3 = a(0) + 11

zugeordnet.
Wenn dabei jetzt 13 rauskommen soll, kann a(0) wohl kaum größer als 13 sein.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 19:09 Beitrag Editieren -- Login

Demnach ist die Aussage von heute, 17:52 Uhr, falsch?

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 19:30 Beitrag Editieren -- Login

Können wir uns darauf einigen, dass die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist", unvollständig ist?

Und demnach ihr Wahrheitsgehalt in ihrer unvollständigen Form nicht bestimmbar ist?

Von Frage am Freitag, den 11. November, 2011 - 19:33 Beitrag Editieren -- Login

Hier geht es um den Kontext.
Oben steht doch, wie der angesprochene Wert zu bestimen ist, da kann man nicht einfach den Funktionswert nehmen.

Angenommen, du berechnest in einer Aufgabe 2x = 4, also x = 2.
Und morgen berechnset du die Lösung von 3x = 9, also x = 3.
Ja aber so was, das geht doch nicht.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 19:40 Beitrag Editieren -- Login

Ich erkenne schon einen Unterschied zwischen der Menge aller x, für die 2x=4 gilt und der Menge aller x, für die 3x=9 gilt.

Von amateur am Freitag, den 11. November, 2011 - 20:00 Beitrag Editieren -- Login

@seoul
1. Die Aussage von heute, 17:52 Uhr, ist natÃ¼rlich richtig. Sie bezieht sich auf Deine Frage nach der Menge der Koeffizienten.

2. Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der grÃ¶ÃŸer als 13 ist", ist zwar falsch, hat aber nichts mit der Aufgabenstellung zu tun. Diese enthÃ¤lt nÃ¤mlich eine genaue Vorschrift, wie der Wert (hier 13) aus den Koeffizienten zu berechnen ist.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 20:08 Beitrag Editieren -- Login

Aha. Also hättest Du das, was Du jetzt hinter "2." geschrieben hast, schon am 01. November (19:56) schreiben können.

Nun kann ich mich ja endlich dem Verständnisprozess widmen, der, Julianes Einträge vom 31. Oktober, 18:01 und 23:13 Uhr zugrundegelegt, vermutlich in einem oder mehreren der Einträge von 18:20, 18:47 und 22:20 Uhr stattfand.

Von nn am Freitag, den 11. November, 2011 - 20:29 Beitrag Editieren -- Login

@seoul:
Was sollte das ganze Theater jetzt eigentlich?
Hast Du wirklich nicht begriffen, worum es ging bzw. wie die Formulierung gemeint war, oder wolltest Du nur klugsch***en?

Von amateur am Freitag, den 11. November, 2011 - 20:29 Beitrag Editieren -- Login

Das ist ja wohl die HÃ¶he. Jetzt soll ich schuld sein, dass Du die Aufgabe noch nicht einmal nach meinem Hinweis vom 1. November richtig gelesen hast.

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 21:27 Beitrag Editieren -- Login

@nn:
Ich habe wirklich nicht begriffen, worum es ging. Für mich schien es auch nach dem didaktisch gut angelegten Eintrag von Hilfe am 31. Oktober, 18:20 immer noch

Zitat:
unverständliches Zeug zusammen

-gequasselt zu sein.

@amateur:
Ich picke nochmal heraus, was bisher eingetragen wurde:
seoul am Montag, den 31. Oktober, 2011 - 22:08

Zitat:
Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist" ist falsch. Beweis: Für a(0)*10 - 4*2¹ - 3² = 13 gilt a(0) > 13.

amateur am Dienstag, den 01. November, 19:56

Zitat:
@seoul
Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist" ist richtig.

Von amateur am Freitag, den 11. November, 2011 - 20:00

Zitat:
@seoul
2. Die Aussage "ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist", ist zwar falsch [...]

Aber Du sollst doch nicht schuld sein, lieber amateur, dass ich aus den Vorgaben keine klare Richtung entnehmen konnte! Engagement hätte ich von Juliane erwartet, insbesondere eine Erläuterung des Verständnisprozesses, der zwischen 18:01 und 23:13 Uhr stattgefunden haben muss.

Von nn am Freitag, den 11. November, 2011 - 21:32 Beitrag Editieren -- Login

Wie kann man sich nur so anstellen?

Von Hilfe kann Chaos sein am Freitag, den 11. November, 2011 - 21:50 Beitrag Editieren -- Login

Ja, nn, schäm dich !

@Hilfe kann Chaos sein:
Wofür denn?
Gruß
nn

Von seoul am Freitag, den 11. November, 2011 - 22:20 Beitrag Editieren -- Login

Wie, weiß ich auch nicht. Juliane hat jedenfalls zu wenig angestellt. Wenn die ursprüngliche Frage von mir gekommen wäre, dann hätte ich nach Schließung der Verständnislücke eine überarbeitete Darstellung wiedergegeben. Gegebenenfalls an geeigneter Stelle erklärt: So, ich schreibe ab jetzt alles Wesentliche nochmal neu auf und entweder lasse ich Ungeeignetes wie die Aussage mit der 13 ganz weg oder ich ergänze sie so, dass sie zum Rest passt.

Von nn am Samstag, den 12. November, 2011 - 08:13 Beitrag Editieren -- Login

Die Aussage mit der 13 passt wunderbar, wenn man beim Lesen ein klein wenig sein Hirn einschaltet.

Von Nülfe am Samstag, den 12. November, 2011 - 08:14 Beitrag Editieren -- Login

Also ich find 13 auch dolle.

Von nn am Samstag, den 12. November, 2011 - 08:16 Beitrag Editieren -- Login

Gell, die sieht klasse aus?


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