| Von Keozor am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 20:14 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo,
ich komme gerade nicht weiter und hoffe mir kann jemand einen Denkanstoß geben.
Bei den Funktionen
f(x) = (1)/(x2)
g(x) = x2 * ex
soll ich jeweils an der Stelle x=1 die Steigung mit dem Differenzenquotient ermitteln.
Die Formel lautet ja in dem Fall so:
f(1 + h)-f(x)/h
Ich hab dies dann so umgesetzt:
f(x) = ((1)/((1+h)2) - (1)/(12))/(h)
= ((1)/(h2+2h+1) - 1)/(h)
g(x) = ((1+h)²*e1+h-1²*e1)/(h)
Die beiden Terme sehen ja ähnlich aus. Aber ich bekomme diese nicht nach h aufgelöst, damit ich die Steigung ermitteln kann. Auch wenn ich jetzt schon h nach 0 laufen lasse, bringt es mir immer noch nichts.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich solch eine gebrochen rationale Funktion nach einer Variablen auflöse?
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 20:30 Beitrag Editieren -- Login |
Die Formel f(1 + h)-f(x)/h ist zunächst falsch.
Richtig ist
ms = [f(1 + h)-f(1)]/h
Dabei steht ms für die Steigung der Sekanten im Intervall [1; h].
Weiter unten hast du dann richtigerweise aber auch diese Formel verwendet.
Bei f gilt
ms = [1/(1+h)2 - 1/1]/h
Bringe hier die Brüche im Zähler auf den Hauptnenner (1+h)2, vereinfache danach den Zähler,
klammere dann h aus und kürze h. Danach kannst du h gegen 0 gehen lassen.
PS:
1) Die beiden Terme für f bzw. g unterscheiden sich meiner Ansicht nach erheblich.
2) Warum willst du "die Funktion" nach einer Variablen auflösen?
Das macht man bur bei einer Gleichung, die nach dieser Variable aufzulösen wäre.
| Von amateur am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:27 Beitrag Editieren -- Login |
Bei g(x) benötigst Du eh = h0/0! + h1/1! + h2/2! + ...
| Von Keozor am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:27 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo Hilfe,
danke schon einmal für deine schnelle Antwort!
Ja, die Funktion bzw. Formel meinte ich auch... Habe die Klammern vergessen :/
Meintest du das jetzt so:
= ( (1)/((1+h)2)) - ((1+h)2/(1+h)2) )/h
= ( 1-((1+h)2) )/h
= ( 1-((h2)+2h+1) )/h
= ( 1-(h2)-2h-1) )/h
= -h -2
Jetzt lasse ich h gegen 0 laufen und dann bleibt übrig
f'(x) = -2
also ich habe auch noch mal die Ableitung gemacht und es würde dann richtig sein...
Zu 1) Ok, in dem zweiten Term habe ich noch Produkte drin, zusätzlich noch die eulersche Zahl.
Zu 2) Mein Fehler, ich möchte nicht danach auflösen, sondern ich möchte ja mittels dem Differenzenquotient die Steigung ermitteln -> f'(x)
| Von Keozor am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:29 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo amateur,
das sagt mir jetzt gar nichts. Ist das eine andere Art des Differenzquotienten oder wie nennt man dieses Verfahren?
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:30 Beitrag Editieren -- Login |
@amateur: Bei solchen Aufgaben wird in der Schule üblicherweise vorausgesetzt,
dass für h gegen 0 der Wert des Terms (eh - 1)/h gegen [ex]'|x=0 = e0 = 1 konvergiert.
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:34 Beitrag Editieren -- Login |
@Keozor: Du hast den Nenner (1+h)2 im Zählerbruch übersehen.
Da der Nenner des Zählers in den Nenner des gesamten Bruches gehärt, muss es lauten
...
= (1/(1+h)2 - (1+h)2/(1+h)2)/h
= (1 - (1+h)2)/(h*(1+h)2)
= (1 - (h2+2h+1))/(h*(1+h)2)
= (1 - h2 - 2h - 1)/(h*(1+h)2)
= (-h2 - 2h)/(h*(1+h)2)
= (-h - 2)/(1+h)2
Für h gegen 0 konvergiert das aber dennoch gegen f '(1) = -2, weil der Nenner gegen 1 konvergiert.
| Von amateur am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:41 Beitrag Editieren -- Login |
@hilfe
Woher soll ich das wissen. Bei mir hat das nie jemand vorausgesetzt.
| Von Keozor am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:42 Beitrag Editieren -- Login |
Ok, das wusste ich nicht. Danke Hilfe!
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:49 Beitrag Editieren -- Login |
@amateur: in der Schule wird der Differenzenquotient von f(x) = ax bei x = 0 behandelt,
allerdings nicht über die Reihe, sondern über die Forderung, dass a = e die Forderung f '(0) = 1 erfüllt.
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:51 Beitrag Editieren -- Login |
@Keozor: die Umformung des Differenzenquotienten bei g(x) ist etwas schwieriger,
mal sehen wie weit du kommst (man muss aus einem Teilterm geschickt ausklammern).
| Von Keozor am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:53 Beitrag Editieren -- Login |
Ok, ich melde mich wieder, wenn ich absolut nicht mehr weiter komme.
| Von Hilfe am Donnerstag, den 21. Januar, 2010 - 21:56 Beitrag Editieren -- Login |
Yes, da hilft dir dann bestimmt amateur, denn ich muss mich jetzt erstmal für ca. 3 Stunden abmelden.
| Von Keozor am Sonntag, den 24. Januar, 2010 - 21:35 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo,
da bin ich nochmal. Ich habe jetzt mehrmals an dem Term herum probiert, aber ich komme nicht dahinter...
((1+h)2*e(1+h)-e1)/h
(e(1+h)*(h2+2h+1)-e1)/h <- Wie soll ich denn hier noch weiterkommen? die Exponenten der e sind unterschiedlich und kürzen kann ich auch nichts... jedenfalls sehe ich nichts.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
| Von Hilfe am Sonntag, den 24. Januar, 2010 - 21:43 Beitrag Editieren -- Login |
(e1+h*(h2+2h+1) - e1)/h = (h2*e1*eh + 2h*e1*eh + e1*eh - e1)/h
(e1+h*(h2+2h+1) - e1)/h = e1*(h2*eh + 2h*eh + eh - 1)/h
(e1+h*(h2+2h+1) - e1)/h = e*(h2*eh + 2h*eh)/h + e*(eh - 1)/h
(e1+h*(h2+2h+1) - e1)/h = e*eh*(h2 + 2h)/h + e*(eh - 1)/h
(e1+h*(h2+2h+1) - e1)/h = e*eh*(h + 2) + e*(eh - 1)/h
| Von Keozor am Montag, den 25. Januar, 2010 - 09:47 Beitrag Editieren -- Login |
Hallo Hilfe,
danke für die ausführliche Antwort! Ein Tipp hätte erst mal gereicht, aber nun gut.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, kann man e1+h auch als eh*e1 schreiben?
Stimmt... jetzt fällts mir ein. Die haben ja die gleiche Basis und wenn man mit gleicher Basis multipliziert, dann addiert man ja die Exponenten... Ach man, man sollte wohl erst immer versuchen die Ausdrücke anders hin zu schreiben. Vielen Dank nochmal!