Guten Abend,
ich soll die Umkehrfunktion der Funktion f(x)= (8·x)/(x²+4) bestimmen.

Für meine Lösung habe ich da zunächst nach x hin aufgelöst, indem ich mit dem Nenner multipliziert habe und eine quadratische Gleichung konstruiert habe, damit ergab sich also:
xy²-8y+4x=0

Die Gleichung hat die Lösungen
x₁=(2(4-y²+2)/(y) bzw. x₂==(-2(4-y²-2)/(y)

Nach dem Variablentausch habe ich die Funktion y1 einfach mal zusammen mit der Ausgangsfunktion zeichnen lassen, aber es passte hinsichtlich der Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten nicht, ebenso für die Darstelllung mit y2.

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht oder wie kann das sein?

Vielen Dank schon einmal für Hilfe!

Von amateur am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 11:21   Beitrag Editieren    --    Login

Du hast offenbar die Variablen zweimal getauscht.

f(x)= 8x/(x² + 4)
x = 8f^-1/((f^-1)² + 4)
x(f^-1)² - 8f^-1 + 4x = 0
f^-1(x) = (8 ± 64 - 16x²)/2x
f^-1(x) = 4/x ± 2/x*4 - x²
f^-1₁(x) = 4/x + 2/x*4 - x²; |y| ³ 2
f^-1₂(x) = 4/x - 2/x*4 - x²; |y| < 2

Die Fallunterscheidung ist erforderlich, da f(x) nicht monoton ist.

Von rts am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 12:43   Beitrag Editieren    --    Login

okay, das kann ich soweit nachvollziehen.
Nur bei der Fallunterscheidung bleibe ich hängen, wie muss man da vorgehen, um auf diese Fallunterscheidung zu kommen?

Von amateur am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 12:55   Beitrag Editieren    --    Login

Die Extrempunkte sind (-2|-2) und (2|2). Die Funktion ist also streng monoton fallend in (-¥; -2]Ú[2; ¥) und streng monoton steigend in [-2; 2]. Sie ist also nur jeweils in diesen Bereichen umkehrbar. Nach der Umkehrung gelten diese Intervalle für y.

Von rts am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 13:29   Beitrag Editieren    --    Login

ah, das heißt also ich muss mir die Monotonie der Umkehrfunktion anschauen und dann kann ich sagen, die Umkehrfunktion steigt in [-2;2] zb auch streng monoton und deswegen ist die Funktion, die sich aus der negativen Lösung der Gleichung oben ergibt, die Umkehrfunktion in dem Intervall?
Bzw. die positive Lösung wäre dann Umkehrfunktion auf den anderen beiden Intervallen?

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